Сумма данного положительного числа и числа, ему обратного, в 13 раз меньше суммы их кубов. Найдите это число.

Решение:

Обозначим х как искомое число

Обозначим 1/x обратное ему

Согласно условия их сумму в 13 раз меньше суммы их кубов:

Запишем:

13 (x + 1/3) = x³ + 1 / x³

13 (x + 1/x) = x³ + 1/x³ + 3 (x + 1/x) – 3 (x + 1/x)

13 (x + 1/x) = (x + 1/3)³ – 3 (x + 1/x)

Замена:

x + 1/x = b > 0

13b = b³ – 3b

13b – b³ + 3b = 0

16b – b³ = 0

b(16 – b² ) = 0

b = 0 или 16 – b² = 0

b² = 16

b = +-4

b = 0 и b = -4 посторонний корень

ПРИ b = 4

x + 1/x = 4 | ⋅ x, x ≠ 0

x² + 1 = 4x

x² – 4x + 1 = 0

D = (-4)² – 4 ⋅ 1 ⋅ 1 = 16 – 4 = 12 > 0

√D = √12 = √4 ⋅ 3 = √2² ⋅ 3 = 2√3

x₁ = -( -4) + 2√3 / 2 = 2(2 – √3) / 2 = 2 – √3

x₂ = -( -4) + 2√3 / 2 = 2(2 + √3) / 2 = 2 + √3

Ответ: x = 2 +- √3

Источник : Учебник по Алгебре 9 класса авторов Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, 2014г.