Решите биквадратное уравнение: а) x⁴ – 5x² – 36 = 0; б) y⁴ – 6y² + 8 = 0; в) t⁴ + 10t² + 25 = 0; г) 4x⁴ – 5x² +1 = 0; д) 9x⁴ – 9x² + 2 = 0; e) 16y⁴ – 8y² + 1 = 0.

Решение:

а) x⁴ – 5x² – 36 = 0

Замена x² = t больше 0

t² – 5t – 36 = 0

t₁ ⋅ t₂ = -36

t₁ + t₂ = 5

t₁ = 9

t₂ = -4 посторонний

При t = 9

x² = 9

x = +-√9

x = +-3

б) y⁴ – 6y² + 8 = 0

Замена y² = t больше 0

t² – 6t + 8 = 0

t₁ ⋅ t₂ = 8 t₁ = 4

t_{1 +} t₂ = 6 t₂ = 2

При t = 2

y² = 2

y +-√ 2

При t = 4

y² = 4

y = +-√4

y = +-2

в) t⁴ + 10t² + 25 = 0

(t² + 5)² = 0

t² + 5 = 0

t² = -5 нет корней

г) 4x⁴ – 5x² +1 = 0

Замена x² = t больше 0

4t² – 5t + 1 = 0

D = (-5)² – 4 ⋅ 4 ⋅ 1 = 25 – 16 = 9 больше 0

√D = √9 = √3² = 3

t₁ = – (-5) – 3 / 2 ⋅ 4 = 5 – 3 / 8 = 2/8 = 0,25

t₂ = – (-5) + 3 / 2 ⋅ 4 = 5 + 3 / 8 = 8/8 = 1

При t = 0,25

x² = 0,25

x = +-0,5

При t = 1

x² = 1

x = +-1

д) 9x⁴ – 9x² + 2 = 0

Замена x² = t больше 0

9t² – 9t + 2 = 0

D = (-9)² – 4 ⋅ 2 = 81 – 72 = 9 больше 0

√D = √9 = √3² = 3

t₁ = – (-9) – 3 / 2 ⋅ 9 = 9 – 3 / 18 = 6 / 18 = 1/3

t₂ = – (-9) + 3 / 2 ⋅ 9 = 9 + 3 / 18 = 12 / 18 = 2/3

При t = 1/3 При t = 2/3

x² = 1/3 x² = 2/3

x = +-√1/3 x = +-√2/3

x = +-√3/9 x = +-√6/9

x = +-√3/3 x = +-√6/3

e) 16y⁴ – 8y² + 1 = 0

(4y² – 1)² = 0

4y² – 1 = 0

4y² = 1

y² = 0,25

y = +-√ 0,25

y = +- 0,5

Источник : Учебник по Алгебре 9 класса авторов Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, 2014г.