Не выполняя построения:

а) определите, пересекает ли парабола у = х² – 8х + 16 прямую 2х – 3у = 0 и если да, то в каких точках;

б) найдите, в каких точках пересекаются окружность (х – 5)² + (у – 4)² = 65 и прямая 3х – у + 6 = 0.

Решение:

а) определите, пересекает ли парабола у = х² – 8х + 16 прямую 2х – 3у = 0 и если да, то в каких точках;

1) 2x – 3y = 0

3y = 2x

y = 2x / 3

2) 2x / 3 = x² – 8x + 16

2x = 3x² – 24 x = 48

3x² – 24x + 48 – 2x = 0

3x² – 26x + 48 = 0

D (-26)² – 4 ⋅ 3 ⋅ 48 = 676 – 576 = 100 > 0

Имеется 2 корня

x₁ = 26 + √100 / 2 ⋅ 3 = 26 + 10 / 6 = 36 / 6 = 6

x₂ = 26 – √100 / 2 ⋅ 3 = 26 – 10 / 6 = 16 / 6 = 8/3 = 2 2/3

3) При x = 6

y = 2/3 ⋅ 6 = 4

При x = 2 2/3 = 8/3

y = 2/3 ⋅ 8/3 = 16 / 9 = 1 7/9

Пересекается в (6;4), (2 2/3; 1 7/9)

б) найдите, в каких точках пересекаются окружность (х – 5)² + (у – 4)² = 65 и прямая 3х – у + 6 = 0.

1) 3x – y + 6 = 0

y = 3x + 6

2) (x – 5)² + (3x + 6 – 4)² = 65

(x – 5)² + (3x + 2)² = 65

x² – 10x + 25 + 9x² + 12x + 4 – 65 = 0

10x² + 2x – 36 = 0

5x² + x – 18 = 0

D = 1² – 4 ⋅ 5 ⋅ (-18) = 1 + 360 = 361 > 0

Есть 2 корня.

x₁ = -1 + √ 361 / 2 ⋅ 5 = -1 + 19 / 10 = 18 / 10 = 1,8

x₂ = -1 – √ 361 / 2 ⋅ 5 = -1 – 19 / 10 = -20 / 10 = -2

3) При x = 1,8

y = 3 ⋅ 1,8 + 6 = 5,4 + 6 = 11,4

При x = -2

y = 3 ⋅ (-2) + 6 = – 6 + 6 = 0

Пересекаются в (1,8; 11,4), (-2;0)

Источник : Учебник по Алгебре 9 класса авторов Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, 2014г.