Найдите корни биквадратного уравнения: а) х⁴ – 25х² + 144 = 0; б) у⁴ + 14у² + 48 = 0; в) х⁴ – 4х² + 4 = 0; г) t⁴ – 2t² – 3 = 0; д) 2х⁴ – 9х² + 4 = 0; е) 5у⁴ – 5у² + 2 = 0.

Решение:

а) х⁴ – 25х² + 144 = 0

Замена x² = больше 0

t² – 25t + 144 = 0

D = (-25)² – 4 ⋅ 1 ⋅ 144 = 625 – 576 = 49 больше 0

√D = √49 = √7² = 7

t₁ = – (-25) – 7 / 2 = 25 – 7 / 2 = 18/2 = 9

t₂ = – (-25) + 7 / 2 = 25 + 7 / 2 = 32/2 = 16

При t = 9

x² = 9

x = +-√9

x = +-3

При t = 16

x² = 16

x = +-√16

x = +-4

б) у⁴ + 14у² + 48 = 0

Замена y² = t больше 0

t² + 14t + 48 = 0

t₁ ⋅ t₂ = 48 t₁ = -8

t₁ + t₂ = -14 t₂ = -6

уравнение не имеет корней

в) х⁴ – 4х² + 4 = 0

(x² – 2)² = 0

x² – 2 = 0

x² = 2

x = +-√2

г) t⁴ – 2t² – 3 = 0

Замена t² = b больше 0

b² – 2b – 3 = 0

b₁ ⋅ b₂ = -3

b₁ + b₂ = 2

b₁ = -1 корень посторонний

b₂ = 3

t² = 3

t = +-√3

д) 2х⁴ – 9х² + 4 = 0

Замена x² = t больше 0

2t² – 9t + 4 = 0

D = (-9)² – 4 ⋅ 2 ⋅ 4 = 81 – 32 = 49 больше 0

√D = √49 = √7² = 7

t₁ = -(-9) – 7 / 2 ⋅ 2 = 9 – 7 / 4 = 2/4 = 0,5

t₂ = -(-9) + 7 / 2 ⋅ 2 = 9 + 7 / 4 = 16/4 = 4

При t = 0,5 При t = 4

x² = 0,5 x² = 4

x = +-√0,5 x = +-2

е) 5у⁴ – 5у² + 2 = 0

Замена y² = t больше 0

5t² – 5t + 2 = 0

D = (-5)² – 4 ⋅ 5 ⋅ 2 = 25 – 40 = – 15 меньше 0

Корней нет

Источник : Учебник по Алгебре 9 класса авторов Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, 2014г.