Докажите, что при натуральном n: а) если х ϵ [0; 1], то х⁽ⁿ⁺¹⁾ <= хⁿ; б) если х ϵ (1; +∞), то х^{(n + 1)} > хⁿ.

Решение:

а) если х ϵ [0; 1], то х⁽ⁿ⁺¹⁾ <= хⁿ

хⁿ⁺¹ < xⁿ

x ϵ 0;1

xⁿ ⋅ x – xⁿ < 0

xⁿ (x – 1) < 0

x ϵ 0; 1 xⁿ > 0

x – 1 < 0

xⁿ (x – 1) < 0

xⁿ⁺¹ < xⁿ

б) если х ϵ (1; +∞), то х^{(n + 1)} > хⁿ

х^{n + 1} > xⁿ

х ϵ 1; +∞

xⁿ ⋅ x – xⁿ > 0

xⁿ (x – 1) > 0

х ϵ (1; +∞) xⁿ > 1

x – 1 > 0

xⁿ (x – 1) > xⁿ

xⁿ⁺¹ > xⁿ

Источник : Учебник по Алгебре 9 класса авторов Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, 2014г.