Докажите, что при любом значении х квадратный трехчлен: а) х² – 6х + 10 принимает положительное значение; б) 5х² – 10х + 5 принимает неотрицательное значение; в) -х² + 20х – 100 принимает неположительное значение; г) -2х² + 16х – 33 принимает отрицательное значение.

Решение:

а) х² – 6х + 10

х² – 6х + 10 = x² – 2 ⋅ 3 ⋅ x + 3² + 10 = (x – 3)² – 9 + 10 = (x – 3)² + 1 больше 0

б) 5х² – 10х + 5

5х² – 10х + 5 = 5 ⋅ x² – 5 ⋅ 2x + 5 ⋅ 1 = 5(x² – 2x + 1) = 5 (x² – 2 ⋅ 1 ⋅ x + 1² ) = 5(x – 1)² больше 0

в) -х² + 20х – 100

-х² + 20х – 100 = – (x² – 20x + 100) = – (x – 10)² больше 0

г) -2х² + 16х – 33

-2х² + 16х – 33 = -2 (x² – 8x + 33/2) = – 2(x² – 2 ⋅ x ⋅ 4 + 4² – 4² + 33/2) = – 2((x – 4)² + 1/4) = -2 (x – 4)² – 1 меньше 0

Источник : Учебник по Алгебре 9 класса авторов Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, 2014г.