Докажите, что квадратный трехчлен: а) -х² + 20х – 103 не принимает положительных значений; б) х² – 16х + 65 не принимает отрицательных значений.

Решение:

а) -х² + 20х – 103 не принимает положительных значений

-х² + 20х – 103 = – (x² – 20x + 103) = – (x² – 2 ⋅ x ⋅ 10 + 100 – 100 + 103) = – ((x – 10)² – 100 + 103) = – ((x – 10)² + 3)

– ((x – 10)² + 3) меньше 0

выражение не принимает положительные значения

б) х² – 16х + 65 не принимает отрицательных значений

х² – 16х + 65 = (x² – 2 ⋅ x ⋅ 8 + 64 – 64 + 65) = (x – 8)² + 1

(x – 8)² + 1 больше нуля

исходное выражение не принимает отрицательных значений

Источник : Учебник по Алгебре 9 класса авторов Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, 2014г.