Докажите, что из всех прямоугольных треугольников с суммой катетов, равной 6 см, наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник.

Решение:

Обозначим х как один из катетов данного прямоугольного треугольника.

По условиям задачи сумма катетов этого прямоугольного треугольника равна 6 см, поэтому длина второго катета этого треугольника равна 6 – x см, а площадь S этого прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

S = х ⋅ (6 – х) / 2 см².

Преобразуем уравнение для площади этого треугольника следующим образом:

х ⋅ (6 – х) / 2 = (6х – х²) / 2 = (9  – 9 + 6х – х²) / 2 =  (9 – (9 – 6х + х²) / 2 = (9 – (3 – х)²) / 2.

Полученное выражение достигает максимального значения при х = 3.

При данном значении х второй катет равен 6 – х = 6 – 3 = 3.

Поэтому площадь треугольника максимальна, когда обе стороны треугольника равны, то есть когда треугольник равнобедренный.

Источник : Учебник по Алгебре 9 класса авторов Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, 2014г.